公務(wù)員考試講義-數(shù)字運(yùn)算

◇知識詳解

知識點(diǎn)1：整數(shù)特性

1．常見小數(shù)字的整除判定

（1）局部看

一個(gè)數(shù)的末位能被2或5整除，這個(gè)數(shù)就能被2或5整除；一個(gè)數(shù)的末兩位能被4或25整除，這個(gè)數(shù)就能被4或25整除；一個(gè)數(shù)的末三位能被8或125 整除，這個(gè)數(shù)就能被8或125 整除。

（2）整體看

整體作和：一個(gè)數(shù)各位數(shù)數(shù)字和能被3或9 整除，這個(gè)數(shù)就能被3或9整除；整體作差：如果一個(gè)整數(shù)的末三位與末三位以前的數(shù)字組成的數(shù)之差能被7、11 或13整除，那么這個(gè)數(shù)能被7、11或13整除。

截尾法：把個(gè)位數(shù)字截去，再從余下的數(shù)中，減去個(gè)位數(shù)的2倍，差是7 的倍數(shù)，則原數(shù)能被7整除。

（3）其他合數(shù)判斷一個(gè)數(shù)能否被某個(gè)合數(shù)整除，一般的方法是先把這個(gè)合數(shù)分解成幾個(gè)容易判斷整除的數(shù)的乘積的形式，并且這些數(shù)兩兩互質(zhì)，再分別判斷。

2．整除思想的應(yīng)用環(huán)境

（1）文字描述整除：明顯整除字眼、出現(xiàn)“每”“平均”“倍數(shù)”等；

（2）數(shù)據(jù)體現(xiàn)整除：出現(xiàn)分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)、比例、小數(shù)等。

例題1．一個(gè)兩位數(shù)的中間加上一個(gè)0，那么所得的這個(gè)數(shù)是原數(shù)的9 倍，原來這個(gè)兩位數(shù)是多少？（ ）

A．15 B．25 C．35 D．45

【志遠(yuǎn)快解】：答案D。解析：根據(jù)題意可知，原數(shù)各位數(shù)字之和能被9整除，觀察選項(xiàng)只有D項(xiàng)符合。

例題2．已知甲、乙兩人共有260本書，其中甲的書有13%是專業(yè)書，乙的書有12.5%是專業(yè)書，問甲有多少本非專業(yè)書？（ ）

A．75 B．87 C．174 D．67

【志遠(yuǎn)快解】：答案B。解析：由“甲的書有13%是專業(yè)書”可知，甲有87%的非專業(yè)書，由此可推出甲的非專業(yè)書是87的倍數(shù)，排除A、D，代入B滿足題意。

例題3．一袋糖里裝有奶糖和水果糖，其中奶糖的顆數(shù)占總顆數(shù)的60%?，F(xiàn)在又裝進(jìn)10顆水果糖，這時(shí)奶糖的顆數(shù)與總顆數(shù)的比為4∶7，那么，這袋糖里有多少顆奶糖？（ ）

A．100 B．112 C．120 D．122

【志遠(yuǎn)快解】：答案C。解析：已知奶糖的顆數(shù)占總顆數(shù)的60%，即奶糖的顆數(shù)∶總顆數(shù)=3∶5，可知奶糖的顆數(shù)能被3整除，結(jié)合選項(xiàng)，只有C滿足，故選C。

例題4．如果單獨(dú)完成某項(xiàng)工作，那么甲需24 天，乙需36 天，丙需48 天。現(xiàn)在甲先做，乙后做，最后由丙完成。甲、乙工作的天數(shù)比為1∶2，乙、丙工作的天數(shù)為3∶5。則完成這項(xiàng)工作共用了多少天？（ ）

A．30 B．38 C．32 D．40

【志遠(yuǎn)快解】：答案B。解析：根據(jù)題意可得，甲乙丙工作天數(shù)之比為3∶6∶10，所以完成總工程需要 的時(shí)間是3+6+10=19 的倍數(shù)，結(jié)合選項(xiàng)，選擇B。

例題5．甲乙丙丁四個(gè)人分6袋實(shí)物，他們的重量分別是12，16 ，20 ，24 ，28 ，36公斤，甲先取走一袋，剩下的由乙丙丁取走，已知乙和丙取走的重量一樣多，且都是丁的2倍，每袋實(shí)物不能拆分，那么甲先取走的為多少？（ ）

A．16kg B．24kg C．28kg D．36kg

【志遠(yuǎn)快解】：答案D。解析：顯然乙丙丁總和是5 的倍數(shù)，而12，16，20，24，28，36除以5 余2，1，0，4，3，1，即總重量除5余1，故甲也是除5余1，甲只能是D。

知識點(diǎn)2：和差倍比

1．主要的題型分為以下幾類：

①和倍問題：已知兩個(gè)或兩個(gè)以上的數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)或這些數(shù)各是多少？

例如：已知甲、乙兩數(shù)之和是50，甲數(shù)是乙數(shù)的4倍，問甲、乙數(shù)分別是多少？

②差倍問題：已知兩個(gè)數(shù)的差及其倍比關(guān)系，求這兩個(gè)數(shù)各是多少。

例如：已知甲數(shù)是乙數(shù)的4倍，甲數(shù)比乙數(shù)多30，問甲、乙數(shù)分別是多少？

③比例問題：已知兩個(gè)量之間的比例關(guān)系中和其中的一個(gè)量，求另一個(gè)量。比重也是比例問題中的一種情況。

例如：已知某班有50人，男生占總?cè)藬?shù)的40%，問這個(gè)班男生有多少人？

④連比關(guān)系：已知甲∶乙=a∶b，乙∶丙=c∶d，求甲∶乙∶丙。

例如：甲∶乙=3∶4，乙∶丙=3∶5，求甲∶乙∶丙。

2．解題方法

2.1公式法

和倍問題：和÷（倍數(shù)+1）=1倍量，1倍量×倍數(shù)=幾倍量。

差倍問題：差÷（倍數(shù)-1）=1倍量，1倍量×倍數(shù)=幾倍量。

比例問題：分量÷總量=所占比例，分量÷所占比例=總量。

注意事項(xiàng)：注意和差總數(shù)與倍數(shù)的對應(yīng)關(guān)系，同時(shí)，要注意恰當(dāng)選取單位“1”，使問題簡化。

例題1．三個(gè)單位共有180人，甲、乙兩個(gè)單位人數(shù)之和比丙單位多4倍，甲單位比乙單位多，則甲單位有多少人？（ ）

A．30 B．60 C．90 D．120

【志遠(yuǎn)快解】：先將甲乙看做一個(gè)整體，利用甲乙之和與丙之間的和倍關(guān)系可以求出甲乙之和，再根據(jù)甲乙之間的和倍關(guān)系求得甲單位的人數(shù)。根據(jù)和倍關(guān)系，丙單位有180÷（4+1+1）=30人，則甲、乙兩個(gè)單位人數(shù)之和為180-30=150人。再根據(jù)和倍關(guān)系，乙單位有150÷（+1+1）=60人，甲單位有150-60=90人。所以正確答案為C。

2.2方程法

除使用公式外，根據(jù)倍比關(guān)系設(shè)未知數(shù)，列方程求解往往是最直接的方法。應(yīng)用方程法時(shí)，要注意未知數(shù)應(yīng)盡量少，且利于計(jì)算。例如，已知甲是乙的，則可設(shè)甲為8x，乙為5x，在運(yùn)算過程中即可避免分?jǐn)?shù)出現(xiàn)，以簡化運(yùn)算。

例題2．某校高中學(xué)生是初中學(xué)生的，高三和初三學(xué)生畢業(yè)后，留下的高中學(xué)生與初中學(xué)生人數(shù)之比為12∶17。已知高三、初三的畢業(yè)生都是520人，現(xiàn)在學(xué)校中共有學(xué)生多少人？（ ）

A．1044 B．1160 C．1305 D．1410

【志遠(yuǎn)快解】：設(shè)原來高中學(xué)生有5x人，初中學(xué)生有6x人，可列方程，解得x=200，故現(xiàn)在學(xué)校中共有學(xué)生200×（5+6）－520×2=1160人。

3.3整除特性法

①對和差倍比問題，尤其是遇到含分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)和比例的問題，可以根據(jù)題目中的倍數(shù)關(guān)系，結(jié)合選項(xiàng)，利用整除特性代入排除。

②對連比問題：已知甲∶乙=a∶b，乙∶丙=c∶d，求甲∶乙∶丙，可先尋找中間量b、c的公倍數(shù)，轉(zhuǎn)化得到甲∶乙=ac∶bc，乙∶丙=bc∶bd，進(jìn)而甲∶乙∶丙=ac∶bc∶bd。

例題3．某高速公路對于過往車輛的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：大客車30元，小客車15元，小轎車10元。某日通過該收費(fèi)站的大客車與小客車數(shù)量之比為5∶6，小客車與小轎車數(shù)量之比為4∶11，收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多210元，則這天這三種車輛共通過的數(shù)量為（ ）。

A．330 B．355 C．385 D．450

【志遠(yuǎn)快解】：中間量6、4的最小公倍數(shù)為12，將5∶6與4∶11分別轉(zhuǎn)化為10∶12與12∶33，則大客車∶小客車∶小轎車=10∶12∶33。以10輛大客車、12輛小客車、33輛小轎車為一組。每組中收取小轎車的通行費(fèi)比大客車多10×33－30×10=30元，所以這天通過的三種車一共有210÷30=7組。共7×（10+12+33）=385輛。

4．題型精講

4.1和差倍問題

這里面包括和倍問題和差倍問題兩種，考生需要分清楚和、差、倍之間的關(guān)系。

例題4．甲、乙兩桶油的質(zhì)量相等。如果從甲取出24千克，給乙桶加入18千克，這時(shí)乙桶質(zhì)量是甲桶的3倍。兩桶油原來有多少千克？（ ）

A．30 B．45 C．35 D．42

【志遠(yuǎn)快解】：差倍問題。從甲取出24千克，給乙桶加入18千克后，兩桶油質(zhì)量相差24+18=42千克，剛好對應(yīng)乙比甲多出的3-1=2倍。則甲桶取出24千克后的質(zhì)量為42÷（3-1）=21千克，所以甲、乙原來的質(zhì)量為21+24=45千克。

4.2比例問題

比例問題一般涉及的是兩個(gè)量之間的關(guān)系，可以利用方程法來做。

例題5．甲乙丙三個(gè)蔬菜基地共存放了5200噸蔬菜，如果從甲基地運(yùn)出544噸放到乙基地后，乙基地的蔬菜比丙基地多800噸，且此時(shí)甲乙基地的蔬菜重量比為7∶4，則甲基地原有蔬菜的噸數(shù)為（ ）。

A．2256 B．2800 C．3059 D．3344

【志遠(yuǎn)快解】：設(shè)現(xiàn)在乙基地有蔬菜4x噸，那么現(xiàn)在甲基地有7x噸，丙基地有（5200-11x）噸，且現(xiàn)在乙基地的蔬菜比丙基地多800噸，則有4x-（5200-11x）=800，解得x=400，那么原來甲基地有蔬菜7×400+544=3344噸。

4.3連比問題

連比問題利用整除特性法，將兩個(gè)數(shù)之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成為三個(gè)數(shù)之間的統(tǒng)一關(guān)系。

例題6．三種動物賽跑，已知狐貍的速度是兔子的，兔子的速度是松鼠的2倍，一分鐘松鼠比狐貍少跑14米，那么半分鐘兔子比狐貍多跑多少米？（ ）

A．28 B．14 C．19 D．7

【志遠(yuǎn)快解】：由題意可知，三種動物的速度比為狐貍∶兔子∶松鼠=∶1∶=4∶6∶3。一分鐘松鼠比狐貍少跑14米，則兔子每分鐘跑14÷（4-3）×6=84米，半分鐘兔子比狐貍多跑84×（1-）÷2=14米。

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